Prospect Teorisinin Matematiği: Değer ve Ağırlık Fonksiyonları Nasıl Çalışır?

Prospect teorisi çoğunlukla bir cümleyle özetlenir: insanlar kayıpları kazançlardan daha ağır tartar. Bu özetin arkasında iki matematiksel parça vardır: kazanç ve kayıpların nasıl değerlendiğini veren bir değer fonksiyonu ve olasılıkların nasıl tartıldığını veren bir ağırlık fonksiyonu. Bu yazı, prospect teorisinin ne olduğunu anlatmıyor; Daniel Kahneman ve Amos Tversky'nin 1992 tarihli makalesindeki bu iki fonksiyonun biçimine, makalenin bildirdiği medyan tahminlere ve bunların neyi söyleyip neyi söylemediğine bakıyor. Formüller ve medyan tahminler makalede bildirildiği biçimiyle aktarılır; yazının kendi hesapları ayrıca belirtilmiştir.

1979'dan 1992'ye: ne değişti?

Kahneman ve Tversky'nin 1979 tarihli orijinal makalesi, seçeneklerin olasılıklarını ayrı ayrı (separable) karar ağırlıklarıyla tartar. 1992 tarihli makale ise "kümülatif prospect teorisi" adı verilen yeni bir sürüm geliştirir. Makalenin özetine göre bu sürüm, ayrı ağırlıklar yerine kümülatif ağırlıklar kullanır; belirsiz (olasılığı bilinmeyen) olduğu kadar riskli seçeneklere ve herhangi sayıda sonuca uygulanabilir; kazançlar ve kayıplar için farklı ağırlık fonksiyonlarına izin verir. Makale, değer fonksiyonunun ve ağırlık fonksiyonlarının eğriliğini iki ilkeyle açıklar: azalan duyarlılık ve kayıp kaçınması.

Kümülatif olmanın anlamı şudur: karar ağırlığı, bir sonucun kendi olasılığına değil, "sonucun en az o kadar iyi olması" olayının ağırlığı ile "kesinlikle daha iyi olması" olayının ağırlığı arasındaki farka dayanır. Bu, ağırlıkların olaylara tek tek değil, olasılık sıralamasına göre kümülatif olarak uygulandığı anlamına gelir.

Değer fonksiyonu

Makale değer fonksiyonunu, başlangıç noktasında sıfır değerini alan ve kazanç ile kayıp için ayrı eğrilere sahip iki parçalı bir kuvvet fonksiyonu olarak yazar (makalenin denklem 5'i):

v(x) = x^α (x ≥ 0 ise, kazanç) ve v(x) = −λ(−x)^β (x < 0 ise, kayıp).

α ve β, kazanç ve kayıp tarafındaki eğriliği ölçer; 1'den küçük olmaları, azalan duyarlılığı gösterir: 100 ile 200 arasındaki fark, 0 ile 100 arasındaki farktan daha küçük hissedilir. λ ise kayıp kaçınması katsayısıdır; kayıp tarafının kazanç tarafına göre ne kadar dik olduğunu ölçer. Değerler, bir referans noktasına (makalede sıfır) göre kazanç ve kayıp olarak okunur.

Olasılık ağırlıklandırma fonksiyonu

Makale, olasılıkların nasıl tartıldığını tek parametreli bir biçimle yazar (denklem 6): w(p) = p^γ ÷ (p^γ + (1 − p)^γ)^1/γ. Kazançlar için γ, kayıplar için δ kullanılır; yani w⁺ ve w⁻ ayrı fonksiyonlardır. Yazarlara göre bu biçimin birkaç yararlı özelliği vardır: tek parametreli olması, hem içbükey hem dışbükey bölgeleri içerebilmesi, w(0,5) = 0,5 koşulunu gerektirmemesi ve 0,05 ile 0,95 arasındaki olasılıklar için hem toplu hem bireysel verilere makul bir yaklaşım sağlaması.

Ağırlık fonksiyonu ters S biçimlidir: uçlara yakın bölgede dik, ortada daha yatıktır. Makale bunu, küçük olasılıkların olduğundan fazla, orta ve yüksek olasılıkların olduğundan az ağırlıklandırılması olarak betimler; insanlar bu nedenle olasılık farklarına, aralığın ortasında görece duyarsızdır.

Deney: kimler, nasıl?

Makalenin deney bölümüne göre yazarlar, karar teorisinde özel eğitimi olmayan, Berkeley ve Stanford'dan 25 lisansüstü öğrenci (12 erkek, 13 kadın) topladı. Her katılımcı, birkaç gün arayla üç ayrı bir saatlik oturuma katıldı ve katılım karşılığında 25 dolar aldı. Deney bilgisayarla yapıldı; katılımcılara iki sonuçlu 28 kazanç ve 28 kayıp seçeneği gösterildi ve her seçenek için kesin bir tutarla (kesinlik eşdeğeri) karşılaştırmalı tercihler yapıldı. Kesinlik eşdeğerleri, katılımcının kendi beyanından değil, gözlenen tercihlerinden türetildi.

Medyan tahminler

Yazarlar, denklem 5 ve 6'nın parametrelerini her katılımcı için ayrı ayrı doğrusal olmayan regresyonla tahmin etti. Makaleye göre medyan değerler şöyledir: değer fonksiyonunun üssü hem kazançta hem kayıpta 0,88 (α = β = 0,88); kayıp kaçınması katsayısı λ = 2,25; ağırlık parametreleri kazançlar için γ = 0,61 ve kayıplar için δ = 0,69. Medyan verilerden elde edilen parametreler de aşağı yukarı aynıdır. Bu sayılar, o 25 katılımcının tahminlerinin medyanıdır; evrensel sabitler değildir. Makalenin yazarları da genel testi belirli bir parametrik biçimden ayırmak için nitel örüntülere odaklandıklarını, parametre tahminlerini ise yalnızca verinin kısa bir tarifi olarak sunduklarını belirtir.

Sayılarla bir okuma (yazının hesabı)

Aşağıdaki hesaplar makaleden alınmış değil, yukarıdaki medyan parametrelerin bu yazıda uygulanmasıdır; bu yüzden "yazının hesabı"dır. Kazançlar için ağırlık fonksiyonu (γ = 0,61) ve kayıplar için (δ = 0,69) şu değerleri verir:

• p = 0,01: w⁺ ≈ 0,055, w⁻ ≈ 0,040
• p = 0,05: w⁺ ≈ 0,132, w⁻ ≈ 0,111
• p = 0,50: w⁺ ≈ 0,421, w⁻ ≈ 0,454
• p = 0,95: w⁺ ≈ 0,793, w⁻ ≈ 0,850
• p = 0,99: w⁺ ≈ 0,912, w⁻ ≈ 0,945

Küçük olasılıklar olduğundan büyük (0,01 → yaklaşık 0,055), yüksek olasılıklar olduğundan küçük (0,99 → yaklaşık 0,91) ağırlıklandırılıyor; makalenin betimlemesiyle uyumlu.

Kümülatif ağırlıkların bir uygulaması için varsayımsal bir seçenek (rakamlar uydurmadır): %25 olasılıkla 150 dolar, %75 olasılıkla 50 dolar kazanılsın. En iyi sonucun karar ağırlığı w⁺(0,25) ≈ 0,291, diğerinin ağırlığı 1 − 0,291 ≈ 0,709'dur; olasılıklar 0,25 ve 0,75 olduğu hâlde ağırlıklar farklıdır. Değerler v(150) ≈ 82,2 ve v(50) ≈ 31,3 olduğundan seçeneğin değeri 0,291 × 82,2 + 0,709 × 31,3 ≈ 46,1 çıkar.

Bir yazı-tura benzeri bahis için (rakamlar uydurmadır): %50 olasılıkla 100 dolar kazanç ve %50 olasılıkla 100 dolar kayıp. v(100) ≈ 57,5 ve v(−100) ≈ −129,5 olduğundan değer 0,421 × 57,5 + 0,454 × (−129,5) ≈ −34,6 çıkar; yani bu parametrelerle bahis çekici görünmez. Makalenin Tablo 6'sında ise 100 dolarlık bir kaybı telafi eden bahis için medyan kazanç 202 dolardır; medyan parametrelerle yapılan hesap yaklaşık 274 dolar verir. Benzer biçimde, makalenin metnine göre 100 dolar kazanma ihtimali %5 olan seçeneğin medyan kesinlik eşdeğeri 14 dolardır; yukarıdaki parametrelerle hesap yaklaşık 10 dolar verir. Bu, yazının hesabıdır; yazarların kendi uyum değerlendirmesi değildir ve modelin kaba bir yaklaşım olduğunu gösterir. Yazarların kendileri de parametre tahminlerinden çok nitel örüntüye odaklandıklarını belirtir.

Dörtlü örüntü

Makale, kuramın en ayırt edici sonucunu dörtlü bir risk tutumu örüntüsü olarak adlandırır. Çift sonuçlu, karışık olmayan seçeneklerde örüntü şöyledir: orta ve yüksek olasılıklı kazançlarda risk kaçınma, orta ve yüksek olasılıklı kayıplarda risk arama; küçük olasılıklı kazançlarda risk arama, küçük olasılıklı kayıplarda risk kaçınma (sonuçlar uç değilse). Deneyde, olasılığı 0,5 ya da daha yüksek seçeneklerde 25 katılımcının tamamı pozitif seçeneklerde ağırlıklı olarak risk kaçınan, negatif seçeneklerde ise ağırlıklı olarak risk arayan davrandı. Dörtlü örüntünün tamamı, bireysel seçimlerde bir miktar değişkenlikle birlikte, 25 katılımcıdan 22'sinde görüldü.

Bu sayılar neyi söylemez?

Bu parametreler 25 lisansüstü öğrencinin, katılım ücreti sabit olan bir bilgisayar deneyindeki tercihlerinin medyanıdır; piyasadaki yatırımcılar, farklı tutarlar ya da farklı ülkeler için aynı değerleri vermesi beklenemez. Alexander Brown, Taisuke Imai, Ferdinand Vieider ve Colin Camerer'ın 2024 tarihli meta-analizi, 1992-2017 arasında yayımlanan 150 makaledeki 607 kayıp kaçınması tahminini derleyip ortalama katsayıyı 1,955 olarak bildirir (%95 olasılıkla 1,820-2,102 aralığında); yani 2,25 tek bir deneyin medyanıdır, literatür ortalaması farklıdır. Bu sayılar, kimin ne yapması gerektiğini ya da bir kararın doğru olup olmadığını söylemez; yalnızca belirli bir deneyde gözlenen tercihleri betimleyen bir yaklaşımın parametreleridir.

Kayıp kaçınmasının günlük yatırım davranışındaki görünümleri için kayıptan kaçınma ve çerçeveleme etkisi terim sayfalarına, kâr ve zarar sonrası risk alma için Kâr Sonrası ve Zarar Sonrası Risk Alma yazısına bakabilirsin.

Sıkça Sorulan Sorular

Kümülatif prospect teorisi 1979 sürümünden nasıl ayrılır?

1992 makalesinin özetine göre kümülatif sürüm, ayrı karar ağırlıkları yerine kümülatif ağırlıklar kullanır, belirsiz seçeneklere ve herhangi sayıda sonuca uygulanır, kazançlar ve kayıplar için farklı ağırlık fonksiyonlarına izin verir.

λ = 2,25 herkes için geçerli bir sayı mı?

Hayır. Makale, 25 katılımcının tahminlerinin medyanını bildirir. 2024 meta-analizi, farklı çalışmalardaki tahminlerin ortalamasını 1,955 olarak bildirir (%95 olasılıkla 1,820-2,102 aralığında). Bu sayılar kimin ne yapması gerektiğini söylemez; yalnızca bir deneyin ve bir derlemenin betimlemesidir.

α ve β neyi ölçer?

Değer fonksiyonunun kazanç ve kayıp tarafındaki eğriliğini ölçer. 1'den küçük olmaları, azalan duyarlılığı yani artan tutarın etkisinin giderek azalmasını gösterir.

Olasılık ağırlıklandırma fonksiyonu neden ters S biçimli?

Makale, küçük olasılıkların olduğundan fazla, orta ve yüksek olasılıkların olduğundan az ağırlıklandırıldığını bildirir; bu, ağırlık eğrisinin uçlara yakın dik, ortada yatık olmasına yol açar.

Bu yazı yatırım tavsiyesi mi?

Hayır. Yazı bir kuramın matematiksel biçimini ve bir deneyin bulgularını anlatır; hangi varlığın alınıp satılacağı konusunda yönlendirme yapmaz.

Bu yazı genel bilgilendirme amaçlıdır, yatırım tavsiyesi niteliği taşımaz.